The cosine addition and subtraction formulas on non-abelian groups

Abstract

Abstract Let G be a topological group, and let C ( G ) denote the algebra of continuous, complex valued functions on G . We determine the solutions $$f,g,h \in C(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of the Levi-Civita equation $$\begin{aligned} g(xy) = g(x)g(y) + f(x)h(y), \ x,y \in G, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> that extends the cosine addition law. As a corollary we obtain the solutions $$f,g \in C(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of the cosine subtraction law $$g(xy^*) = g(x)g(y) + f(x)f(y)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$x,y \in G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> where $$x \mapsto x^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is a continuous involution of G . That $$x \mapsto x^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is an involution, means that $$(xy)^* = y^*x^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$x^{**} = x$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for all $$x,y \in G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> .